命题逻辑:符号化与真值表(五)

---- 包含多个连接词的复合命题的符号化

(这里跳过上节课重复的内容。)

当一个命题所含有的连接词不止一个,就面临一个分组的问题。
比如说,“p∨q→r”,这里面包含了两个连接词,可以对它做两种理解。 一种是“(p∨q)→r”,再一种是“p∨(q→r)”。
这两种理解的意思是不同的,它的真值是不一样的,我们可以用括号来给它分组。 括号里面的先计算,括号外边的后计算。
自然语言里面没有明确的括号,我们真值函项释义的时候,就是要给它释出括号,这就是我们释义要做的工作。 日常语言里,会靠自然语言的习惯以及辅助词等方式来暗示那个括弧所在的地方。

我们看这样一句话:“如果小明参加比赛并且获奖,那么小明兴奋并且外出旅游”。
首先我们确定这里头包含着4个简单命题。
我们用B代表“小明参加比赛”,用J代表“小明获奖”,用F表示“小明兴奋”,用L代表“小明外出旅游”。
再确定有3个连接词。
一个“如果...那么...”,两个“并且”。
没加括号前的表述是“B∧J→F∧L”
按照我们日常的经验,我们知道应该这样打括号“(B∧J)→(F∧L)”。

有一个连接词是在括号外边的,它实际上是这个命题的最主要的连接词,我们叫做主连接词
主连接词处于括号之外,决定了这个命题主要的逻辑性质。刚才的命题的主连接词是蕴含,所以这个命题是蕴涵命题。
主连接词直接连接的支命题,我们叫直接支命题,它们不是简单命题,而是复合命题。
命题常项B、J、F、L都是合取的支命题,但它们不是蕴含的直接支命题,它们是间接的支命题
这些命题常项表达的命题是最小最小的命题了,它不能再分解了,所以命题常项表达的命题,我们也叫做原子命题,这是罗素命名的。
由原子命题构成的复合命题,文献上有时候也叫分子命题

对于包含多个连接词的命题的符号化,最重要的就是找出它的主逻辑词。
找出主逻辑词的同时,你的那个括号就完成了,因为你要把主逻辑词放在括号的外边。

我们再看一个命题:“小张不是看书就是写字,并且他不喝酒也不吸烟”。
这个里边包含4个简单命题。
用K代表“小张看书”,用Z代表“小张写字”,J代表“小张喝酒”,用Y代表“小张吸烟”。
结论是“(K∨Z)∧(¬J∧¬Y)”,有5个连接词。

我们再看一个:“如果一个人是勤奋的并且聪明或者健康,那么他是有能力的;如果一个人既不聪明又不健康,那么他没能力”。
它包含4个简单命题,我们用Q表示“他是勤奋的”,用J表示“他是健康的”,用C表示“他是聪明的”,用N表示“他有能力”。
这个命题的主逻辑词是分号,分号相当于合取。
结论就是“((Q∧(C∨J))→N)∧((¬C∧¬J)→¬N)”。(图中少了个左括号)
这个里面的括弧用的比较多,看着有点眼花缭乱。 我们现在规定,先合取、析取,后蕴含、等值。当然还有一个大家默认的东西,就是否定是最先的。
最后的结论是“(Q∧(C∨J)→N)∧(¬C∧¬J→¬N)”。